مسائل مهارات التفكير العليا

31) مسألة مفتوحة: اكتب عبارة يمكن إثبات صحتها باستعمال البرهان غير المباشر ثم أثبتها.

إجابة ممكنة: في الشكل المجاور $△ABC$ مختلف الأضلاع.

• المعطيات: $△ABC$ فيه $BC\ne AC;AB\ne AC ,AB\ne BC$
• المطلوب: $△ABC$ مختلف الأضلاع.

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $△ABC$ ليس مختلف الأضلاع.

الحالة1: $△ABC$ متطابق الضلعين.

• الخطوة2: إذا كان $△ABC$ متطابق الضلعين فإن AB=BC أو BC=AC أو AB=AC.
• الخطوة3: يناقض هذا المعطيات، إذن $△ABC$ ليس متطابق الضلعين.

الحالة2: $△ABC$ متطابق الأضلاع.

ولكي يكون المثلث متطابق الأضلاع، يجب أن يكون متطابق الضلعين أيضاً، وفي الحالة الأولى أثبت أن $△ABC$ ليس متطابق الضلعين إذن فالمثلث ABC ليس متطابق الأضلاع لذا $△ABC$ مختلف الأضلاع.

32) تحدٍ: إذا كان x عدداً نسبياً، فإنه يمكن تمثيله بالصورة $\frac{a}{b}$ حيث a,b عددان صحيحان، و $b\ne 0$. ولا يمكن تمثيل العدد غير النسبي في صورة ناتج قسمة عددين صحيحين، اكتب برهاناً غير مباشر تبين فيه أن ناتج ضرب عدد نسبي لا يساوي الصفر في عدد غير نسبي، هو عدد غير نسبي.

• المعطيات: x عدد نسبي لا يساوي الصفر وy عدد غير نسبي.
• المطلوب: xy عدد غير نسبي.

برهان غير مباشر:

الخطوة1: بما أن x عدد نسبي لا يساوي الصفر فإن $x=\frac{a}{b}$ حيث a و b عددان صحيحان حيث $a\ne 0,b\ne 0$ وبالتعويض $xy=\frac{a}{b}\cdot y=\frac{ay}{b}$

افترض أن xy عدد نسبي، فيكون $xy=\frac{c}{d}$ حيث d و c عددان صحيحان $d\ne 0$.

الخطوة2:

$\begin{array}{rl}xy& =\frac{ay}{b}\\ \frac{c}{d}& =\frac{ay}{b}\\ cb& =ayd\\ \frac{cb}{ad}& =y\end{array}$

بما أن a,b,c,d أعداد صحيحة و $a\ne 0,d\ne 0$ فإن $\frac{cb}{ad}$ هو ناتج قسمة عددين صحيحين؛ أي أن y عدد نسبي.

الخطوة3: بما أن الفرض xy عدد نسبي أدى إلى تناقض مع المعطيات، فإن النتيجة الأصلية بأن xy عدد غير نسبي نتيجة صحيحة.

33) اكتشف الخطأ: يحاول أسعد ورضوان أن يثبتا العبارة التالية باستعمال البرهان غير المباشر، فهل أيٌّ منهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك.

”إذا كان مجموع عددين زوجياُ، فإن العددين زوجيان“.

كلاهما على خطأ؛ إجابة ممكنة: العبارة خاطئة مثال مضاد 3+1=4 مجموع العددين عدد زوجي وهما عددان فرديان.

34) اكتب: اكتب المعاكس الإيجابي للعبارة الموجودة في السؤال 8، واكتب برهاناً مباشراً للمعاكس الإيجابي، كيف يرتبط البرهان المباشر للمعاكس الإيجابي للعبارة بالبرهان غير المباشر للعبارة الأصلية؟

إذا لم يكن x عدداً فردياً فإن 5x-2 ليس عدداً فردياً، إجابة ممكنة: إذا لم يكن x عدداً فردياً فإنه عدد زوجي وإذا كان x عدداً زوجياً فإن 5x عدد زوجي لأن حاصل ضرب أي عدد في عدد زوجي يكون عدد زوجي و 5x-2 عدد زوجي أيضاً لأن ناتج طرح 2 من أي عدد زوجي يكون عدداً زوجياً أيضاً؛ لذا فالعبارة ”إذا لم يكن x عدداً فردياً فإن 5x-2 ليس عدداً فردياً “عبارة صحيحة، البرهان المباشر للمعاكس الإيجابي للعبارة والبرهان غير المباشر للعبارة نفسها يبدآن بالفرضيات نفسها ويتوصَّلان إلى النتائج نفسها.

35) إذا كان طولا ضلعين في مثلث 7,12، فأي مما يأتي لا يمكن أن يكون محيط المثلث؟

• 29
• 34
• 37
• 38

36) إذا كان $b>a$، فأي مما يأتي يكون صحيحاً دائماً؟

• $\mathbf{-}\mathit{a}\mathbf{>}\mathbf{-}\mathit{b}$
• $3a>b$
• $a^2<b^2$
• $a^2<ab$