تدرب وحل المسائل

قارن بين القياسين المحددين في كلّ من الأسئلة الآتية:

8) $\mathrm{\angle }BAC,\mathrm{\angle }DGE$

$m\mathrm{\angle }BAC<m\mathrm{\angle }DGE$

9) $\mathrm{\angle }TUW,\mathrm{\angle }VUW$

$m\mathrm{\angle }TUW>m\mathrm{\angle }VUW$

10) PS,SR

$PS<SR$

11) رحلة صيد: أقام باسم وعثمان مخيماً في الصحراء، وقررا أن يقوما برحلة صيد، فانطلق باسم من المخيم وسار 5km في اتجاه الشرق، ثم انعطف °15 جهة الجنوب الشرقي وسار 2km أخرى، وانطلق عثمان من المخيم وسار 5km في اتجاه الغرب، ثم انعطف °35 جهة الشمال الغربي وسار 2km أخرى.

a) أيُّهما أقرب إلى المخيم؟ وضح إجابتك، وارسم شكلاً توضيحياً.

عثمان؛ إجابة ممكنة: انعطف باسم °15 جنوباً، لذلك فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °165، أما عثمان فقد انعطف °35 شمالاً، لذا فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °145، وبحسب متباينة SAS يكون: ${145}^{\circ }<{165}^{\circ }$ فإن عثمان يكون أقرب إلى المخيم.

b) افترض أن عثمان انعطف °10 في اتجاه الجنوب الغربي بدلاً من °35 في اتجاه الشمال الغربي، فأيهما يكون أبعد عن المخيم؟ وضح إجابتك، وارسم شكلاً توضيحياً.

عثمان؛ إجابة ممكنة: انعطف باسم °15 جنوباً، لذلك فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °165، أما عثمان فقد انعطف °10 شمالاً، لذا فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °170، وبحسب متباينة SAS يكون: ${170}^{\circ }>{165}^{\circ }$ فإن عثمان يكون أبعد إلى المخيم.

اكتب متباينة تمثل مدى القيم الممكنة ل x في كل من السؤالين الآتيين:

12)

$2<x<6$

13)

$7<x$

14) خزائن: خزانتا سليم وماجد مفتوحتان، كما في الشكل المجاور، أيُّ بابي الخزانتين يشكل زاوية قياسها أكبر؟ وضح إجابتك.

خزانة سليم؛ إجابة ممكنة: بما أن عرضي البابين متساويان، وفتحتا الخزانتين متساويتان أيضاً، وبما أن $17\text{in}>12\text{in}$، إذاً قياس الزاوية التي يكونها باب سليم أكبر من قياس الزاوية التي يكونها باب ماجد بحسب عكس متباينة SAS.

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين:

15) المعطيات:

• $\overline{LK}\cong \overline{JK},\overline{RL}\cong \overline{RJ}$

• K نقطة منتصف $\overline{QS}$

• $m\mathrm{\angle }SKL>m\mathrm{\angle }QKJ$

المطلوب:

$RS>QR$

العبارات (المبررات):

1. $K،\overline{LK}\cong \overline{JK},\overline{R}\overline{L}\cong \overline{RJ}$ نقطة منتصف $\overline{QS}$، $m\mathrm{\angle }SKL>m\mathrm{\angle }QKJ$ (معطيات).
2. SK=QK (تعريف نقطة المنتصف).
3. $SL>QJ$ (متباينة SAS).
4. RL=RJ (تعريف القطع المستقيمة المتطابقة).
5. $SL+RL>RL+QJ$ (خاصية الجمع).
6. $SL+RL>RJ+QJ$ (بالتعويض).
7. RS=SL+RL،QR=RJ+QJ (مسلمة جمع القطع المستقيمة).

16) المعطيات:

$\begin{array}{r}\overline{AF}\cong \overline{DJ},\overline{FC}\cong \overline{JB}\\ AB>DC\end{array}$

المطلوب:

$m\mathrm{\angle }AFC>m\mathrm{\angle }DJB$

البرهان:

1. $\overline{AF}\cong \overline{DJ},\overline{FC}\cong \overline{JB},AB>DC$ (معطيات).
2. $\overline{BC}\cong \overline{BC}$ (خاصية الانعكاس).
3. BC=BC (تعريف القطع المستقيمة المتطابقة).
4. AB+BC=AC، DC+CB=DB (مسلمة جمع القطع المستقيمة).
5. $AB+BC>DC+CB$ (خاصية الجمع).
6. $AC>DB$ (بالتعويض).
7. $m\mathrm{\angle }AFC>m\mathrm{\angle }DJB$ (عكس متباينة SAS).

17) تمرين: يقوم عبد الله بتمرين العضلة ذات الرأسين.

a) أيُّهما أكبر: المسافة من قبضة اليد إلى الكتف في الوضع 1، أم المسافة نفسها في الوضع 2؟ وضح إجابتك بالقياس.

الوضع 1؛ إجابة ممكنة: إذا قست المسافة من المرفق إلى الكف في كلا الوضعين باستعمال مسطرة ستجدها أطول في الوضع 1

b) أيُّهما أكبر: قياس الزاوية المتكونة عند المرفق في الوضع 1، أم المتكونة في الوضع 2؟ وضح إجابتك مستعملاً القياسات التي أوجدتها في الفرع a وعكس متباينة SAS.

الوضع 1؛ إجابة ممكنة: باستعمال نتيجة الفرع a ومتباينة SAS، تعلم أن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول هي الأكبر، لذلك فالزاوية عند المرفق في الوضع 1 هي الأكبر.

18) برهان: استعمل البرهان غير المباشر؛ لإثبات النظرية 4.14 (عكس متباينة SAS).

المعطيات:

$\begin{array}{rl}& \overline{RS}\cong \overline{UW}\\ & \overline{ST}\cong \overline{WV}\\ & RT>UV\end{array}$

المطلوب:

$m\mathrm{\angle }S>m\mathrm{\angle }W$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $m\mathrm{\angle }S\le m\mathrm{\angle }W$.

الخطوة2: إذا كان $m\mathrm{\angle }S\le m\mathrm{\angle }W$، فإن $m\mathrm{\angle }S=m\mathrm{\angle }W وأ m\mathrm{\angle }S<m\mathrm{\angle }W$.

• الحالة1: إذا كان $m\mathrm{\angle }S<m\mathrm{\angle }W$، فإن $RT<UV$ بحسب المتباينة SAS.
• الحالة2: إذا كان $m\mathrm{\angle }S=m\mathrm{\angle }W$، فإن $\mathrm{△}RST\cong \mathrm{△}UWV$ بحسب SAS.

ويكون $\overline{RT}\cong \overline{UV}$، لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، وعليه فإن RT=UV من تعريف القطع المستقيمة المتطابقة.

الخطوة3: الحالتان تؤديان إلى تناقص مع المعطى $RT>UV$، لذلك فالفرض يجب أن يكون خطأ والنتيجة $m\mathrm{\angle }S>m\mathrm{\angle }W$ ستكون صحيحة.

19) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستكتشف مجموع زوايا مضلع.

a) هندسياً: ارسم ثلاث مضلعات: ثلاثي، رباعي، خماسي، وسم المضلع الثلاثي ABC، والرباعي FGHJ والخماسي PQRST.

b) جدولياً: انسخ الجدول أدناه في دفترك وأكمله مستعملاً المنقلة لقياس كل زاوية.

c) لفظياً: خمن العلاقة بين عدد أضلاع المضلع ومجموع قياسات زواياه.

إجابة ممكنة: مجموع قياسات زوايا المضلع يساوي ناتج ضرب °180 في عدد أضلاع المضلع مطروحاً منها 2

d) منطقياً: ما نوع التبرير الذي استعملته في الفرع c، وضح إجابتك.

التبرير الاستقرائي؛ إجابة ممكنة: بما أنني استعملت نمطاً للتوصُّل إلى التخمين، إذاً التبرير الذي استعملته هو التبرير الاستقرائي.

e) جبرياً: اكتب عبارة جبرية؛ لإيجاد مجموع قياسات زوايا مضلع عدد أضلاعه n.

${180}^{\circ }(n-2)$

استعمل الشكل المجاور لكتابة متباينة تربط بين قياس كل زوج من الزوايا في السؤالين الآتيين:

20) $m\mathrm{\angle }BDC,m\mathrm{\angle }FDB$

$m\mathrm{\angle }BDC<m\mathrm{\angle }FDB$

21) $m\mathrm{\angle }ABF,m\mathrm{\angle }FDB$

$m\mathrm{\angle }ABF>m\mathrm{\angle }FDB$