مسائل مهارات التفكير العليا

28) تحدٍ: تقع النقطة P على $\overline{AB}$. إذا علمت أن طول $\overline{AP}$ يساوي 2x+3، وطول $\overline{PB}$ يساوي $\frac{3x+1}{2}$، وطول $\overline{AB}$ يساوي 10.5 وحدات، فارسم شكلاً يوضح المسألة، وأثبت أن طول $\overline{AP}$ يساوي ثلثي طول $\overline{AB}$.

المعطيات:

• طول $\overline{AP}$ يساوي 2x+3
• طول $\overline{PB}$ يساوي $\frac{3x+1}{2}$
• $\overline{AB}$ يساوي 10.5

المطلوب:

$AP=\frac{2}{3}AB$

البرهان:

تبرير: صنّف الجمل الآتية إلى صحيحة أحياناً أو صحيحة دائماً أو غير صحيحة أبداً، فسر تبريرك.

29) إذا كان a و b عددان حقيقيين، وكان a+b=0، فإن a=-b.

صائبة دائماً؛ إجابة ممكنة: إذا كان a+b=0، فإن a+b-b=0-b (خاصية الطرح للمساواة) إذاً a=-b (بالتبسيط)، ولذا تكون هذه العبارة صائبة دائماً.

30) إذا كان a و b عددان حقيقيين، وكان a²=b، فإن a=$\sqrt{b}$.

صائبة أحياناً؛ إجابة ممكنة: إذا كانت a=1، فإن a²=1=b إذاً $\sqrt{b}=\sqrt{1}=1=a$ فتكون الجملة صائبة.

أما إذا كانت a=-1، فإن a²=(-1)²=1=b ويكون $\sqrt{b}=\sqrt{1}=1\ne a$ وبذلك تكون الجملة غير صائبة.

31) تحدٍ: وضعت آمنة تخميناً ينصُّ على أن مجموع أي عددين صحيحين فرديين هو عدد زوجي.

a) أعط أمثلة تؤيد هذا التخمين، ثم فسر لماذا لا تثبت هذه الأمثلة صحة التخمين.

إجابة ممكنة: 6=3+3

12=7+5 , 16=9+7

هذه أمثلة توضح التخمين، ولكنها لا تثبته؛ وذلك لأن الأعداد الفردية المذكورة لا تمثل جميع الأعداد الفردية، وإنما هي أمثلة فقط.

b) يمكن كتابة العدد الفردي على الصورة 2n-1. أعط أمثلة تؤيد ذلك.

1-(2)2=3

1-(3)2=5

c) ما العدد الذي تكون الأعداد الزوجية جميعها مضاعفات له؟ فسر لفظياً كيف يمكن استعمال إجابتك عن الفرعين a,b لإثبات صحة تخمين آمنة.

2، إجابة ممكنة: سوف أجمع العبارتين 2n-1 و 2m-1، اللتين تمثلان أي عددين فرديين، وأثبت أن المجموع من مضاعفات العدد 2.

d) اكتب برهاناً جبرياً لإثبات أن مجموع أي عددين صحيحين فرديين هو عدد صحيح زوجي.

افترض أن العددين الصحيحين الفرديين هما: 2n-1 و 2m-1، فيكون المجموع $(2n-1)+(2m-1)$ يساوي 2m+2n-2. نلاحظ أن كل حدّ يحوي العامل 2؛ لذا يمكن إخراجه عاملاً مشتركاً لينتج $2(n+m-1)$. وهذه الصيغة هي مضاعف للعدد 2، إذن هي تمثل عدداً زوجياً؛ لذا فإن مجموع عددين صحيحين فرديين هو عدد صحيح زوجي.

32) اكتب: ما أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين البرهان الحر والبرهان ذي العمودين، أيُّ البرهانين تجده أسهل للكتابة؟ برر إجابتك.

البرهان الحر أسهل للكتابة، فالبرهان الحر هو نوع من البراهين التي تكتب فيه الخطوات جملاً كاملة على شكل فقرة، وهذا النوع من البرهان يماثل في محتواه البرهان ذا العمودين، لكنه يختلف عنه شكلاً، ففي البرهان ذي العمودين تكتب العبارات في عمود، وتكتب المبررات في عمود آخر بجانب العمود الأول.

33) في الشكل أدناه: $.\mathrm{\angle }AFB\cong \mathrm{\angle }CFD,m\mathrm{\angle }CFE={90}^{\circ }$

أيٌّ مما يأتي ليس صحيحاً بالضرورة؟

• $m\mathrm{\angle }BFD=m\mathrm{\angle }BFD$.
• $\overleftrightarrow{FC}$ محور تناظر للشكل.
• $m\mathrm{\angle }CFD=m\mathrm{\angle }AFB$.
• $\mathrm{\angle }CFE$ قائمة.

34) مراجعة: أي علاقة يمكن أن تستعمل لإيجاد قيم S(n) في الجدول التالي؟

• $s\left(n\right)=-n+7$
• $s\left(n\right)=-2n+3$
• $s\left(n\right)=\frac{1}{2}n+5$
• $s\left(n\right)=\frac{1}{4}n+3$