تأكد

برهان: برهن كلاً مما يأتي باستعمال طريقة البرهان المذكورة:

1) برهان تسلسلي:

• المعطيات: $\overline{JK}\parallel \overline{LM},\overline{JL}\parallel \overline{KM}$
• المطلوب: إثبات أن: $\mathrm{△}JML\cong \mathrm{△}MJK$.

البرهان:

2) برهان حر.

• المعطيات: $\mathrm{\angle }K\cong \mathrm{\angle }M$، $\overline{JL}$ تنصف $.\mathrm{\angle }KLM$
• المطلوب: إثبات أن: $\mathrm{△}JKL\cong \mathrm{△}JML$.

البرهان:

من المعطيات نعلم أن: $\mathrm{\angle }K\cong \mathrm{\angle }M$، $\overline{JL}$ تنصف $.\mathrm{\angle }KLM$

بما أن $\overline{JL}$ تنصف $.\mathrm{\angle }KLM$ إذاً $\overline{JL}\cong \overline{JL},\mathrm{\angle }KLJ\cong \mathrm{\angle }MLJ$ بحسب خاصية الانعكاس للتطابق، لذا $\mathrm{△}JKL\cong \mathrm{△}JML$ بحسب نظرية التطابق AAS.

3) بناء جسور: يحتاج مساح إلى إيجاد المسافة بين النقطتين A,B المبينتين في الشكل المجاور لبناء جسر فوق النهر، فوضع وتداً عند A، ووضع زميله وتداً عند B، في الجهة المقابلة، ثم عين المساح النقطة C، في جهة A. بحيث كانت $\overline{CA}\perp \overline{AB}$، ووضع وتداً رابعاً عند E، التي هي نقطة منتصف $\overline{CA}$، وأخيراً وضع وتداً عند النقطة D، بحيث كان $\overline{CD}\perp \overline{CA}$، والنقاط D,E,B تقع على مستقيم واحد.

a) وضح كيف يمكن أن يستعمل المساح المثلثين المتكونين لإيجاد المسافة بين النقطتين A,B.

نعلم أن: $\mathrm{\angle }BAE,\mathrm{\angle }DCE$ متطابقتان؛ لأنهما زاويتان قائمتان، $\overline{AE}$ تطابق $\overline{EC}$ بحسب نظرية نقطة المنتصف، ومن نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس، نعلم أن $\mathrm{\angle }DEC\cong \mathrm{\angle }BEA$. وبحسب ASA يعلم المساح أن $\mathrm{△}DCE\cong \mathrm{△}BAE$. ولأن العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين تكون متطابقة إذن $\overline{DC}\cong \overline{AB}$، ولذا يمكن للمساح أن يقيس $\overline{DC}$ وبذلك يعرف المسافة بين النقطتين A,B.

b) إذا كان: AC=160m, DC=60m، DE=100m، فأوجد المسافة بين النقطتين A,B. ووضح إجابتك.

60m، لأن $\overline{DC}\cong \overline{AB},DC=60\mathrm{m}$، إذن AB=60m، بحسب تعريف تطابق القطع المستقيمة.