تدرب وحل المسائل

برهان: على الشكل المقابل:

4) المعطيات:

• $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$
• $\mathrm{\angle }\mathrm{CBD}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{BCA}$

المطلوب: $\mathrm{△}\mathrm{CAB}\cong \mathrm{△}\mathrm{BDC}$

البرهان:

• $\mathrm{\angle }CDB\cong \mathrm{\angle }BCA$، معطى.
• $CB\cong CB$، خاصية الانعكاس للتطابق.

$\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }DCB$ بالتبادل الداخلي لأن $\overline{BC},\overline{AB}\parallel \overline{CD}$ قاطع، بحسب مسلمة التطابق ASA، فإن $\mathrm{△}CAB\cong \mathrm{△}BDC$.

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

5) المعطيات:

• V نقطة منتصف $\overline{WY}$.

• $\overline{XW}\parallel \overline{UY}$

المطلوب: $\mathrm{△}UVY\cong \mathrm{△}XVW$

البرهان:

6) برهان: اكتب برهاناً تسلسلياً.

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }C$ زاويتان قائمتان.

• $\mathrm{\angle }ABE\cong \mathrm{\angle }CBD,\overline{AE}\cong \overline{CD}$

المطلوب: $\overline{BE}\cong \overline{BD}$

البرهان:

7) سباق زوارق: يرغب المشرفون في إقامة سباق تجديف في بحيرة، لكنهم غير متأكدين ممَّا إذا كان طول البحيرة كافياً لإجراء السباق أم لا، ولقياس طول البحيرة حددوا رؤوس المثلثين المبينين في الشكل أدناه، ووجدوا أطوال أضلاع $△HJK$، استعمل المعلومات الواردة في فقرة لماذا للإجابة عن الفقرتين a, b.

a) وضح كيف يستعمل المشرفون على السباق المثلثين المتكونين لتقدير المسافة FG عبر البحيرة.

$\mathrm{\angle }HJK\cong \mathrm{\angle }GFK$، لأن جميع الزوايا القوائم متطابقة، ونعلم من المعطيات أن $\overline{JK}\cong \overline{KF}$. وأن $\mathrm{\angle }FKG,\mathrm{\angle }HKJ$ متقابلتان بالرأس، لذا فإن $\mathrm{\angle }HKJ\cong \mathrm{\angle }FKG$ بحسب نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس، وبحسب ASA ، فإن $\mathrm{△}HJK\cong \mathrm{△}GFK$، ولذا فإن $\overline{FG}\cong \overline{HJ}$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة.

b) هل طول البحيرة كاف لإجراء سباق الزوارق باستعمال القياسات المعطاة؟ وضح إجابتك.

لا، بما أن HJ=1350m فإن FG=1350m والمسافة المطلوبة للسباق 1500m.

جبر: أوجد قيمة المتغير التي تجعل المثلثين متطابقين في كلّ من السؤالين الآتيين:

8) $\mathrm{△}BCD\cong \mathrm{△}WXY$

X=3

9) $\mathrm{△}MHJ\cong \mathrm{△}PQJ$

y=5

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

10) المعطيات:

$\begin{array}{r}\mathrm{\angle }K\cong \mathrm{\angle }M,\overline{KP}\perp \overline{PR}\\ \overline{MR}\perp \overline{PR}\end{array}$

المطلوب: $\mathrm{\angle }KPL\cong \mathrm{\angle }MRL$

البرهان:

11) المعطيات: $\overline{QR}\cong \overline{SR}\cong \overline{WR}\cong \overline{VR}$

المطلوب: $\overline{QT}\cong \overline{WU}$

البرهان:

12) دراجات هوائية: يشكّل أنبوب مقعد الدراجة مثلثاً مع كلّ من دعامتي السلسلة والمقعد، إذا كانت كل دعامة مقعد تشكل زاوية قياسها °68 مع دعامة السلسلة المناظرة لها، وكل دعامة سلسلة تشكل زاوية قياسها 44° مع أنبوب المقعد، فبين أن دعامتي المقعد لهما الطول نفسه.