تدرب وحل المسائل

كعك: اذكر المسلمة التي تبرر صحة كل عبارة من العبارات الآتية:

14) المستقيمان n وl يتقاطعان في النقطة K.

المسلمة 1.6؛ تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان، فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، حيث تشكل l و n الحافتان العلويتان للطبقة السفلية مستقيمين متقاطعين.

15) المستويان P وQ يتقاطعان في المستقيم m.

المسلَّمة 1.7؛ التي تنص على أنه إذا تقاطع مستويان، فإن تقاطعهما يكون مستقيماً، حيث يشترك الوجهان الأماميان P,Q للطبقة السفلى في الحرف الذي يمثل المستقيم m، ولذلك يتقاطع المستويان P,Q في المستقيم m.

16) النقاط D,K,H تحدد مستوى.

المسلمة 1.2؛ يمرُّ مستوى واحد فقط في ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة. حيث إن الوجه الأمامي الأيسر من الطبقة السفلية من الكعكة P يحوي النقاط H,K. D ويكون مستوى.

17) النقطة D تقع على المستقيم n المار بالنقطتين C,K.

المسلمة 1.3؛ التي تنص على أن المستقيم يحوي نقطتين على الأقل، حيث إن المستقيم n حرفاً علوياً للطبقة السفلية، والنقاط C,D,K تقع على هذا الحرف؛ لذا فإنها تقع على المستقيم n.

18) النقاط E,F,G تقع في المستوى نفسه.

المسلمة 1.2؛ التي تنص على أنه واحد يمر في أي ثلاث يوجد مستوى نقاط لا تقع على استقامة واحدة، حيث إن الوجه الأمامي الأيمن من الطبقة السفلية للكعكة يحوي النقاط G,K,E,F والتي تمثل مستوى.

19) $\overleftrightarrow{EF}$ يقع في المستوى Q.

المسلمة 1.5؛ التي تنص على أنه إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يقع كلياً في ذلك المستوى حيث إن الوجه الأمامي الأيمن Q يحوي النقطتين F,E فالمستقيم الذي يمر بهما يقع في المستوى الذي يمثله هذا الوجه.

20) المستقيمان g, h يتقاطعان في النقطة J.

المسلمة 1.6؛ التي تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان، فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، حيث إن الوجه الأمامي الأيسر من الطبعة السفلية، فيه الحافة السفلية واليسرى تشكلان مستقيمين متقاطعين.

حدد ما إذا كانت كل جملة مما يلي صحيحة دائماً أو صحيحة أحياناً أو غير صحيحة أبداً، فسر تبريرك.

21) يوجد مستوى واحد فقط يحوي النقاط الثلاث C, B, A التي لا تقع على استقامة واحدة.

صائبة دائماً، تنص المسلمة 1.2 على أن أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.

22) ثلاثة مستقيمات على الأقل تمر بالنقطتين J وK.

غير صائبة أبداً؛ المسلمة 1.1 تنص على أن أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

23) إذا وقعت النقاط P, N, M في المستوى X، فإنها تقع على استقامة واحدة.

صائبة أحياناً؛ لا يشترط أن تكون النقاط على استقامة واحدة حتى تقع في المستوى نفسه.

24) تقع النقطتان X وY في المستوى Z، وأي نقطة على استقامة واحدة مع X وY تقع أيضا في المستوى Z.

صائبة دائماً؛ المسلمة 1.5 تنص على أنه إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن جميع نقاط المستقيم المار بهما تقع في هذا المستوى.

25) النقاط A,B,C تحدد مستوى.

صائبة أحياناً: يجب أن تكون النقاط ليست على استقامة واحدة.

26) برهان: إذا علمت أن Y هي نقطة منتصف $\overline{XZ}$، وأن Z هي نقطة منتصف $\overline{YW}$، فأثبت أن $\overline{XY}\cong \overline{ZW}$.

المعطيات:

• Y هي نقطة منتصف $\overline{XZ}$
• Z هي نقطة منتصف $\overline{YW}$

المطلوب:

$\overline{XY}\cong \overline{ZW}$

البرهان:

تعلم أن Y هي نقطة منتصف $\overline{XZ}$ و Z هي نقطة منتصف $\overline{YW}$ ومن تعريف نقطة المنتصف YZ=ZW و XY=YZ، وباستعمال خاصية التعدي للمساواة XY=ZW، إذن $\overline{XY}\cong \overline{ZW}$ بتعريف تطابق القطع المستقيمة.

27) برهان: النقطة L هي نقطة منتصف $\overline{JK}$، ويتقاطع $\overline{JK}$ مع $\overline{MK}$ في النقطة K. إذا كان $\overline{MK}\cong \overline{JL}$، فأثبت أن $\overline{LK}\cong \overline{MK}$.

المعطيات:

• L هي نقطة منتصف $\overline{JK}$.
• تتقاطع $\overline{JK}$ مع $\overline{MK}$ في النقطة K. و $\overline{MK}\cong \overline{JL}$

المطلوب:

$\overline{LK}\cong \overline{MK}$

البرهان:

نعلم أن L هي نقطة منتصف $\overline{JK}$. من نظرية نقطة المنتصف ينتج أن $\overline{JL}\cong \overline{LK}$، وبتطبيق خاصية التعدي للتطابق $\overline{MK}\cong \overline{JL},\overline{JL}\cong \overline{LK}$ نحصل على $\overline{MK}\cong \overline{LK}$.

ومن خاصية التماثل للتطابق نجد أن $\overline{LK}\cong \overline{MK}$

28) خرائط: أمام خالد طريقان للانتقال من الموقع A إلى الموقع B كما يظهر في الخريطة المجاورة، إذا كان الحد الأعلى للسرعة المسموح بها على الطريق (1) هو 90km/h، الطريق (2) هو 110km/h.

a) أي الطريقين يبدو أقصر طولاً؟ فسر تبريرك.

الطريق (1).
إجابة ممكنة: بما أنه يوجد مستقيم واحد يمر بأي نقطتين، وأن الطريق (1) يبدو مستقيماً ويمر بالنقطتين A,B فإنه أقصر الطريقين.

b) إذا كانت المسافة من A إلى B عبر الطريق (1) تساوي 8.16km، والمسافة بينهما عبر الطريق (2) تساوي 6.17km، فأي الطريقين أسرع وصولاً، إذا قاد خالد سيارته بالحد الأعلى للسرعة المسموح بها؟

الطريق (2).

في الشكل المجاور $\overleftrightarrow{CD}$ و $\overleftrightarrow{CE}$ واقعان في المستوى P، $\overleftrightarrow{DH}$ و $\overleftrightarrow{DJ}$ واقعان في المستوى Q، اذكر المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات صحة كل عبارة فيما يأتي:

29) النقطتان C وB على استقامة واحدة.

المسلمة 1.1؛ أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

30) $\overleftrightarrow{EG}$ يحوي النقاط E,F,G.

المسلمة 1.3؛ كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل.

31) النقطتان D وF تقعان على استقامة واحدة.

المسلمة 1.1؛ أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.

32) النقاط B, D, C تقع في المستوى نفسه.

المسلمة 1.2؛ أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.

33) المستوى Q يحوي النقاط C,H,D,J.

المسلمة 1.4؛ كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة.

34) المستوى P يتقاطع مع المستوى Q في $\overleftrightarrow{CD}$.

المسلمة 1.7؛ إذا تقاطع مستويان، فإن تقاطعهما يكون مستقيماً.

35) هندسة عمارة: يحسب ميل السطح عادة بقسمة الارتفاع مقيساً بالبوصة على المسافة الأفقية مقيسه بالقدم، استعمل العبارات أدناه لتكتب برهاناً حراً للعبارة الآتية: ميل السطح في تصميم أحمد غير كاف.

• عند استعمال مواد عازلة للماء، يجب أن يكون الميل $\frac{1}{4}$ بوصة لكل قدم على الأقل.
• حتى ينحدر الماء بتأثير الجاذبية الأرضية، يجب أن يكون ميل السطح 4 بوصات لكل قدم.
• صمَّم أحمد سطح منزله بحيث يكون مائلاً.
• الميل في تصميم أحمد يساوي 2 بوصة لكل قدم.

إجابة ممكنة: صمَّم أحمد سطح منزله بحيث يكون مائلاً، ويجب أن يكون ميل السطح 4 بوصات لكل قدم على الأقل، إلا أن ميل سطح منزل أحمد هو 2 بوصة لكل قدم، وهي أقل من 4 بوصات لكل قدم؛ مما يعني أن الميل في التصميم غير كاف.

36) أقيمت بطولة شاركت فيها ثماني فرق كرة قدم للناشئين.

a) ما عدد المباريات التي ستجرى في الدور الأول؟

28 مباراة.

b) ارسم شكلاً يوضح عدد مباريات الدور الأول، أي مسلمة يمكنك استعمالها لتبرير هذا الشكل؟

c) أوجد طريقة حسابية لإيجاد عدد المباريات التي ستجرى في الدور الأول، بغض النظر عن عدد الفرق المشاركة في البطولة؟

إجابة ممكنة: إذا كان هناك n فريقاً مشاركاً في البطولة، فإن عدد مباريات الدور الأول يساوي:

$\begin{array}{r}(n-1)+(n-2)+\dots +1\\ \frac{n(n-1)}{2} وأ\end{array}$